Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là một kỹ thuật toán học mạnh mẽ được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật, bao gồm cả địa kỹ thuật xây dựng. FEM cho phép giải quyết các bài toán phức tạp liên quan đến cơ học đất, cơ học đá, cơ học vật liệu, cơ học lún sụt, cơ học động lực và nhiều ứng dụng khác. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giới thiệu về nguyên lý cơ bản của FEM, các bước thực hiện FEM và một số ví dụ minh họa về FEM trong địa kỹ thuật xây dựng.
Nguyên lý cơ bản của FEM
FEM là một phương pháp xấp xỉ giải các bài toán vi phân hoặc tích phân trên một miền liên tục bằng cách chia miền đó thành các phần tử hữu hạn nhỏ hơn và liên kết chúng với nhau bằng các điểm nút. Mỗi phần tử có thể có một số độ tự do (DOF) tùy thuộc vào loại phần tử (ví dụ: thanh, ống, tấm, khối…) và loại bài toán (ví dụ: tĩnh, động, nhiệt…). Các DOF của các phần tử được biểu diễn bằng các biến số (ví dụ: biến dạng, vận tốc, nhiệt độ…) tại các điểm nút. Các biến số này được gọi là các biến số nút hoặc các biến số chính.
Để xác định các biến số nút, ta cần thiết lập các phương trình cân bằng cho mỗi phần tử và cho toàn bộ miền. Các phương trình cân bằng cho mỗi phần tử được xây dựng bằng cách áp dụng các nguyên lý vật lý như nguyên lý Hamilton, nguyên lý biến thiên ảo hoặc nguyên lý năng lượng. Các phương trình cân bằng cho toàn bộ miền được xây dựng bằng cách ghép nối các phương trình của các phần tử lại với nhau thông qua các điều kiện biên và liên kết. Các điều kiện biên là những ràng buộc về các biến số nút tại ranh giới của miền, ví dụ như điều kiện Dirichlet (biến số nút cho trước) hoặc điều kiện Neumann (đạo hàm của biến số nút cho trước). Các điều kiện liên kết là những ràng buộc về sự liên thông giữa các biến số nút của các phần tử kề nhau.
Sau khi có được các phương trình cân bằng cho toàn bộ miền, ta có thể giải chúng để tìm ra các biến số nút. Từ đó, ta có thể tính toán được các thông số khác của miền như ứng suất, biến dạng, nhiệt độ… FEM là một phương pháp xấp xỉ nên kết quả thu được có thể chịu ảnh hưởng của nhiều yếu tố như lựa chọn loại phần tử, kích thước phần tử, số lượng phần tử, số lượng DOF, số lượng điểm nút, phương pháp giải phương trình… Do đó, ta cần phải kiểm tra và đánh giá độ chính xác của kết quả bằng các phương pháp như so sánh với các giải pháp chính xác, các giải pháp thực nghiệm hoặc các giải pháp khác.
Các bước thực hiện FEM
Để thực hiện FEM cho một bài toán địa kỹ thuật xây dựng, ta cần thực hiện các bước sau:
– Bước 1: Phát biểu bài toán, xác định miền giải, các thông số vật liệu, các tải trọng và các điều kiện biên.
– Bước 2: Lựa chọn loại phần tử, số lượng phần tử, số lượng DOF và số lượng điểm nút. Chia miền giải thành các phần tử hữu hạn và đánh số các điểm nút.
– Bước 3: Thiết lập các phương trình cân bằng cho mỗi phần tử bằng cách áp dụng các nguyên lý vật lý. Các phương trình này thường có dạng ma trận.
– Bước 4: Ghép nối các phương trình của các phần tử lại với nhau thông qua các điều kiện biên và liên kết để tạo thành một hệ phương trình cân bằng cho toàn bộ miền. Hệ phương trình này cũng có dạng ma trận.
– Bước 5: Giải hệ phương trình cân bằng để tìm ra các biến số nút. Có thể sử dụng các phương pháp giải ma trận như Gauss, Gauss-Seidel, Jacobi, Cholesky, LU, QR… hoặc các phương pháp lặp như Newton-Raphson, Broyden…
– Bước 6: Từ các biến số nút, tính toán được các thông số khác của miền như ứng suất, biến dạng, nhiệt độ…
– Bước 7: Kiểm tra và đánh giá độ chính xác của kết quả bằng các phương pháp như so sánh với các giải pháp chính xác, các giải pháp thực nghiệm hoặc các giải pháp khác.
Một số ví dụ minh họa về FEM trong địa kỹ thuật xây dựng
FEM có thể được áp dụng cho nhiều bài toán địa kỹ thuật xây dựng khác nhau. Dưới đây là một số ví dụ minh họa:
– Ví dụ 1: Tính toán biến dạng và ứng suất của một thanh thép có chiều dài L = 1 m, diện tích mặt cắt A = 0.01 m2 và độ cứng E = 200 GPa khi chịu một lực kéo F = 10 kN tại một đầu. Ta có thể sử dụng FEM với loại phần tử thanh (bar element) có một DOF là biến dạng tại mỗi điểm nút. Ta có thể chia thanh thép thành N = 10 phần tử và M = N + 1 = 11 điểm nút.